Po studiach z kompozycji i dyrygentury w swoim rodzinnym mieście Rosario, przeniósł się w 1984 roku do Buenos Aires, aby doskonalić swoje umiejętności. W latach 1984-1988 pracował w jednym z zawodowych chórów w Teatro Colón, gdzie jego głos rozwinął się w charakterystyczny, odważny i jasny tenor z odcieniami ciemnego barytonu, który zapewnił mu międzynarodową sławę.
W 1999 roku José Cura wznowił karierę dyrygencką, współpracując m.in. z czołowymi orkiestrami, takimi jak London Philharmonia, London Symphony, Vienna Philharmonic, Sinfonia Varsovia, Toscanini Orchestra i Węgierska Filharmonia, wykonując dzieła operowe i symfoniczne, porywając publiczność.
W 2007 roku miała miejsce światowa premiera La Commedia è finita – twórcze, nowe wyobrażenie Pagliacciego w połączeniu z tańcem i mimem, zaprojektowane i wyreżyserowane przez José Curę, zapoczątkowało jego karierę jako reżysera. W 2010 roku zaprojektował scenografię, wyreżyserował i zagrał główną rolę w przedstawieniu Samson i Dalila Saint-Saënsa w Badisches Staatstheater, tworząc innowacyjne, nowoczesne podejście do klasyki. Produkcja dostępna jest na DVD. Jednomyślne uznanie publiczności i krytyków za La Rondine w Opéra de Nancy oraz Cavalleria Rusticana i Pagliacci w Opéra Royal de Wallonie w 2012 roku przypieczętowały jego pozycję jako wybitnego reżysera. W 2013 roku jego produkcja Otello w Teatro Colón w Buenos Aires została uznana w międzynarodowym głosowaniu za jedną z najbardziej udanych produkcji roku. Jego spektakl Cyganeria skandynawska (2015), nowa produkcja Cyganerii Pucciniego dla Królewskiej Opery Szwedzkiej, został okrzyknięty przez prasę i publiczność za jedno z najbardziej udanych przedstawień, jakie kiedykolwiek wystawiono w prestiżowej operze. Jesienią 2016 roku jego inscenizacja Turandot w Opéra Royal de Wallonie spotkała się z ogromnym uznaniem. W 2017 roku jego koprodukcja z Peterem Grimesem w Bonn i Monte Carlo, w której zadebiutował także rolą tytułową, została okrzyknięta …mistrzowskim wieczorem. Ostatnio, w 2018 roku, jego nowa produkcja Nabucco dla Praskiej Opery Narodowej została okrzyknięta …genialną, przemyślaną i zintegrowaną fuzją scenografii, oświetlenia i kostiumów, a jego nowa produkcja Fanciulla del West spotkała się z wielkim uznaniem w operze w Tallinie.
Rok 2014 upłynął pod znakiem powrotu José Cury do działalności kompozytorskiej. W listopadzie w Południowoczeskiej Operze odbyła się premiera jego Stabat Mater napisanego w 1989 roku, a w Wielkanoc 2015 roku, po jego powrocie w roli Don José w La Scali, odbyła się światowa premiera jego Magnificat, napisanego w 1988 roku (Teatro Massimo di Catania).
W latach 2015-2018 Maestro Cura był mianowany Artystą-rezydentem Praskiej Orkiestry Symfonicznej. Poprowadził tam światową premierę swojego tryptyku Ecce Homo w marcu, zaś we wrześniu 2017 roku światową premierę Modus (Kyrie z jego Mszy żałobnej) oraz zamówioną symfoniczną wersję słynnych Misa Criolla i Navidad Nuestra Ariela Ramireza.
W lutym 2019 roku Cura został mianowany pierwszym głównym artystą gościnnym – piosenkarzem, kompozytorem i dyrygentem – w historii grup artystycznych węgierskiego radia. Wraz z instytucją nagrał niedawno oratorium Ecce Homo.
Przerwa w pracy scenicznej – narzucona przez pandemię – dała artyście czas na ukończenie dwóch oczekujących projektów kompozytorskich: Te Deum i koncertu gitarowego. Jego Te Deum, napisane w 2019 roku i zaaranżowane w 2020 roku, miało pomyślną premierę z chórami London Philharmonia i Bucharest Radio we wrześniu 2021 roku, podczas festiwalu Enescu, a jego Concierto para un Resurgir na gitarę i orkiestrę miało premierę we wrześniu 2021 roku w Saarbrücken wraz z Suitą symfoniczną na podstawie jego opery Montezuma i Czerwony Kapłan. Msza żałobna José Cury – Requiem æternam na potrójny chór, solistów i orkiestrę – miała pomyślną premierę w Budapeszcie 9 maja 2022 roku z udziałem grup artystycznych MTVA i Węgierskiego Chóru Narodowego.
W 2015 roku José Cura został uhonorowany przez Senat Argentyny Nagrodą im. Domingo Faustino Sarmiento za osiągnięcia w dziedzinie edukacji i kultury, a w 2017 roku otrzymał tytuł profesora honoris causa Narodowego Uniwersytetu w Rosario w Argentynie, gdzie niegdyś odbywał studia kompozytorskie.
